Abi´13 A

Los gehts

dummy1

Teilaufgaben der Abiturklausur

Information

Ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck aus Pappe wird zwischen eine Lichtquelle und eine Leinwand gehalten, auf der es einen Schatten erzeugt (siehe Abbildung).
Abi13A




















In dieser Aufgabe ist die Leinwand Teil der xy-Ebene, die Position der Lichtquelle ist
L( 40 |10 |18 ) , die Längeneinheit 1 dm.
Das Pappdreieck wird so zwischen Lichtquelle und Leinwand gehalten, dass seine Ecken in den Punkten A(30 |10 | 16) , B(32 | 11 | 18) und C(31 |12 |14) liegen.

Aufgabenteil a)

(1) Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks ABC.
Lösung

(2) Bestimmen Sie die Position des rechten Winkels im rechtwinkligen Dreieck ABC und berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
[Kontrollergebnis: 4,5 dm2 ]
Lösung

Aufgabenteil b)

(1)Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte A´ , B´ und C´ des Schattens, den das Pappdreieck auf die Leinwand wirft.
[Zur Kontrolle: A´(0 |10 |10) , B´(0 | 15 | 18) undC´(0 | 170/9 | 2/9 ) ]
 Lösung

Aufgabenteil c)

(1) Zeigen Sie, dass das Schattendreieck A´, B´, C´ des Dreiecks ABC keinen rechten Winkel bei A´ hat.
Lösung

Aufgabenteil d)

Nun soll das Volumen des Schattenraums zwischen dem Dreieck ABC und seinem Schatten A´, B´, C´ berechnet werden (siehe Abbildung). Gehen Sie dazu folgendermasen vor:
(1) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide A´, B´, C´, L mit der Grundflache A´, B´, C´ und der Spitze L.
Ohne Nachweis darf dabei verwendet werden, dass das Dreieck A´,B´,C´ den Flacheninhalt 60 dm2 hat.
Lösung



(2) Geben Sie eine Gleichung der durch die Punkte A, B und C gegebenen Ebene ABC in Parameterform an.
Bestimmen Sie einen Vektor n, der senkrecht auf der Ebene ABC steht, und geben Sie eine Gleichung der Geraden l an, die durch den Punkt L verläuft und die Ebene ABC senkrecht schneidet.
[Zur Kontrolle: z. B. n ( 2 | 2 | 1)]
Lösung

(3) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts F dieser Geraden l mit der Ebene ABC und berechnen Sie den Abstand der Punkte L und F .
[Zur Kontrolle: F(36 | 14 | 20) ]
Lösung

(4)Ermitteln Sie nun das Volumen des Schattenraums zwischen dem Dreieck ABC und seinem Schatten A´, B´, C´ (siehe Abbildung).
Lösung