Abi´13 B

Los gehts

Teilaufgaben der Abiturklausur

Information

In der Ebene IR² ist die Abbildung α gegeben durch die Gleichung

Aufgabenteil a)

Das Viereck ABCD hat die Eckpunkte A(1 | 0) , B(1 | 0), C(3 | 2) und D(1 | 2) .
(1) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.
Lösung

Die Parallelogrammeigenschaft der Strecken AB = DC ist zu zeigen:

Zum Nachweis,dass das Viereck A´B´C´D´ ein Quadrat ist, reicht es aus, die folgenden eigenschaftenzu zeigen:

[Lösungsalternative: geometrischer Nachweis der Quadrateigenschaschaft]

Aufgabenteil b)

Gegeben sind die Geraden:




(1)Bestimmen Sie eine Gleichung der Bildgeraden g´ von g bezüglich der Abbildung α und ermitteln Sie die Lagebeziehung von g und g´ .
Lösung

Die Bildgerade g´ hat die Gleichung:
Da die Richtugnsvektoren von g und g´ wegen:
orthogonal, insbesondere also nicht kollinear sind, schneiden sich die Geraden g und g´.

Die Bildgerade h´ hat die Gleichung:
Es gild h´= h, da die beidenden gemeinsamen Stützvektor:
und kollineare Richtungsvektoren besitzen.

Aufgabenteil c)

Zeigen Sie, dass die Abbildung α die folgenden Eigenschaften besitzt:

1. Der Punkt P(0 | 4) wird durch α auf den Punkt P´(6 | 1) abgebildet.
2. Jeder Punkt der Geraden k : x-y=-1 wird durch α auf sich selbst abgebildet.
3. Jeder Punkt, der nicht auf der Geraden k liegt, wird nicht auf sich selbst abgebildet.
4. Jede Gerade, die durch einen Punkt, der nicht auf der Geraden k liegt, und seinen Bildpunkt verlauft, ist parallel zur Geraden PP´ .
Lösung

1.
Der Punkt P(0|4) wird auf dem Punkt P´(6|1) abgebildet.
2. Es ergibt sich mit:

Jeder Prunkt der Geraden k wird auf sich selbst abgebildet.
3./4. Sei R(X|Y) ein beliebiger Punkt, der nicht auf k liegt. Es gilt also x₂ ungleich x₁+1 Dann erhält man:

Daraus folgt: R ungleich R´ und die Gerade RR´ verläuft parallelzu PP´.

Aufgabenteil d)

Nun soll der Bildpunkt Q´ des Punktes Q(3 | 0) geometrisch konstruiert werden.
Stellen Sie diese geometrische Konstruktion graphisch dar und erklären Sie Ihr Vorgehen.
Lösung

Da jede Gerade durch einen Punkt, der nicht auf der Geraden k liegt, und dessen Bildpunkt parallel zur Geraden PP„S ist, muss der Punkt Q´ auf der Parallelen p zur Geraden PP´ durch den Punkt Q liegen. Die Gerade PQ schneidet die Fixpunktgerade k in einem Punkt S = S´ . Dieser Punkt muss auch auf der Bildgeraden P´Q´ liegen. Man erhalt somit den Punkt Q´ als Schnittpunkt der Geraden P´S´ mit der oben genannten Parallelen p.